题目
f(x)为R上的偶函数,g(x)为R上的奇函数且过(-1,3),g(x)=f(x-1),则f(2012)+f(2013)=______.
提问时间:2020-12-25
答案
由f(x)为R上的偶函数,g(x)为R上的奇函数,
得f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),且g(0)=0,
由g(x)=f(x-1),得f(x)=g(x+1)=-g(-x-1)=-f(-x-2)=-f(x+2),即f(x)=-f(x+2),
所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
故f(x)是周期为4的周期函数,
所以f(2012)=f(4×503)=f(0)=g(1)=-g(-1)=-3,
f(2013)=f(4×503+1)=f(1)=f(-1)=g(0)=0,
所以f(2012)+f(2013)=-3,
故答案为:-3.
得f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),且g(0)=0,
由g(x)=f(x-1),得f(x)=g(x+1)=-g(-x-1)=-f(-x-2)=-f(x+2),即f(x)=-f(x+2),
所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
故f(x)是周期为4的周期函数,
所以f(2012)=f(4×503)=f(0)=g(1)=-g(-1)=-3,
f(2013)=f(4×503+1)=f(1)=f(-1)=g(0)=0,
所以f(2012)+f(2013)=-3,
故答案为:-3.
先利用函数的奇偶性推出f(x)的周期,利用周期化简f(2012),f(2013),根据条件得f(-1)=g(0)=0,f(0)=g(1)及g(-1)=3即可求得答案.
奇偶性与单调性的综合.
本题考查函数的奇偶性、周期性及其性质,考查学生灵活运用函数性质解决问题的能力,属中档题,具有一定综合性.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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