题目
用导数求最大值和最小值
设函数 y=x(三次方)+ax+1 的图像在点(0,1)处的切线方程的切线斜率为 -3,求 y=x(三次方)+ax+1 在[0,2] 上的最大值和最小值
设函数 y=x(三次方)+ax+1 的图像在点(0,1)处的切线方程的切线斜率为 -3,求 y=x(三次方)+ax+1 在[0,2] 上的最大值和最小值
提问时间:2020-12-25
答案
设函数 y=x(三次方)+ax+1 的图像在点(0,1)处的切线方程的切线斜率为 -3
==> y'=3*x^2+a在(0,1)点的值为-3
==>3*0^2+a=-3
==>a=-3
则原式为y=x^3-3x+1,导数y'=3x^2-3
令y'=0得x=1或x=-1,对应全定义域的极值,即x=1时,y取极小值=-1
在[0,1]上y'<=0,即y单调减小;
在[1,2]上y'>=0,即y单调增加;
则比较y(0)和y(2):y(0)=1,y(2)=3,即x=2时取到区间[0,2]上的极大值3
==> y'=3*x^2+a在(0,1)点的值为-3
==>3*0^2+a=-3
==>a=-3
则原式为y=x^3-3x+1,导数y'=3x^2-3
令y'=0得x=1或x=-1,对应全定义域的极值,即x=1时,y取极小值=-1
在[0,1]上y'<=0,即y单调减小;
在[1,2]上y'>=0,即y单调增加;
则比较y(0)和y(2):y(0)=1,y(2)=3,即x=2时取到区间[0,2]上的极大值3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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