题目

关于正定二次型
f(x1,x2,.,xn)=(x1+a1x2)^2+(x2+a2x3)^2+...+(xn+anx1)^2,注,上述字母n与数字为下标.其中ai(i=1,2,...n)为实数.试问：当a1,a2,...,an满足何种条件时,二次型f（x1,x2,...,xn)为正定二次型.由已知条件知,对任意的x1,x2,...xn,恒有f（x1,x2,...,xn）≥0,其中等号成立的充分条件是：下面是一个线性方程组.x1+a1x2=0.xn+anx1=0,只要方程组仅有零解,就必有当x≠0时,x1+a1x2,x2+a2x3,...恒不全为0,从而f（x1,x2,...xn)＞0,亦即f是正定二次型.
我的问题是等号成立的充分条件为什么是线性方程组等于0?第二个问题是只要方程组为0这一句话开始到最后.怎么理解这句话?本人基础薄弱.

提问时间：2020-12-25

答案

因为f是一些平方项的和
所以
f=0
每一个平方项都等于0
x1+a1x2=0
.
xn+anx1=0
所以,当方程组只有零解时
任给x=(x1,...,xn)^T≠0,x不是方程组的解
所以 f ≠ 0
即有 f > 0,f正定