题目

利用定积分求面积求切线的一题
求曲线y=lnx在区间(2,6)内一条切线,使得该切线与x=2,x=6,以及曲线y=lnx所围成的图形面积最小.

提问时间：2020-12-24

答案

设切点为(a,lna),切线为y=(x-a)/a+lna
s=∫[(x-a)/a+lna]dx|(2,6)-∫lnxdx|(2,6)
=x^2/2a-(1-lna)x-xlnx+∫x/xdx|(2,6)
=x^2/2a-(1-lna)x-xlnx+x|(2,6)
=-2/a+18/a-2lna+6lna+2ln2-6ln6
=16/a＋4lna＋2ln2－6ln6
对s(a)关于a求导,
s'=－16/a^2＋4/a
令s'＝0,
a=4
所以面积最小值为s(4)=4＋4ln4＋2ln2－6ln6=4＋10ln2－6ln6＝0.1809