题目

关于向量组线性无关的题
已知向量组a1,a2,a3,a4 线性无关,则下列向量组线性无关的是
A（a1+a2）,(a2+a3),(a3+a4),(a4+a1)
B a1-a2,a2-a3,a3-a4,a4-a1
C a1+a2,a2+a3,a3-a4,a4-a1
D a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-a1
还有就是给出a1,a2,a3,a4 为线性方程的基础解系
为什么a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-a1也是它的基础解系
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提问时间：2020-12-24

答案

选D.设k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4-a1)=0
整理得 (k1-k4)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0
由于a1,a2,a3,a4 线性无关,则k1-k4=k1+k2=k2+k3=k3+k4=0
解得k1=k2=k3=k4=0,所以a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-a1线性无关.
A,B,C三个选项可以用相同的办法来解,可解出非零的k1,k2,k3,k4.
首先a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-a1可以由a1,a2,a3,a4线性表示,这是显然的.
然后设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4-a1.
可得a1=0.5b1-0.5b2+0.5b3-0.5b4,a2=0.5b1+0.5b2-0.5b3+0.5b4,
a3=-0.5b1+0.5b2+0.5b3-0.5b4,a4=0.5b1-0.5b2+0.5b3+0.5b4
即a1,a2,a3,a4可以由a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-a1线性表示.
所以这两组向量是等价的.
所以为同一线性方程组的基础解系.