题目

在直角三角形ABC在,∠ABC＝90点M,N为斜边AB的三等分点,若CM的平方﹢CN的平方＝1,求AB的长度

提问时间：2020-12-23

答案

题有误,因为∠ABC＝90,则∠B为直角,AB不能是斜边,而是直角边.
如果确定∠ABC＝90无误,则AB会是直角边,于是AB^2=(AC^2-BC^2).
假定M,N的位置为：A→M→N→B
而CM^2=MC^2=BC^2+4/9*AB^2, CN^2=MC^2=BC^2+1/9*AB^2
由于,CM^2+CN^2=1,BC^2+4/9*AB^2+BC^2+1/9*AB^2=1,因此BC^2=(1-5/9*AB^2)/2
所以AB^2=AC^2-AB^2=AC^2-(1-5/9*AB^2)/2.
显然,只能到此为止,缺乏条件!
如果,AB为斜边,则∠C为直角,仍假设M,N的位置为：A→M→N→B.
从M,N分别向AC和CB做垂线,分别相交得MD、NE、MF、NG.
则CM^2=MC^2=1/9*BC^2+4/9*AC^2, CN^2=MC^2=4/9*BC^2+1/9*AC^2.
由CM^2+CN^2=1,可知1/9*BC^2+4/9*AC^2+4/9*BC^2+1/9*AC^2=1,所以5/9*(BC^2+AC^2)=1
于是AB=√[BC^2+AC^2]=3/√5.
所以题有误,如果有解得话,则应为：
{
在直角三角形ABC在,∠ACB＝90点M,N为斜边AB的三等分点,若CM的平方﹢CN的平方＝1,求AB的长度.
}