题目

如果 r满足 r + 1/r 是整数,那么证明 r^n + (1/r^n) 也是整数

提问时间：2020-12-23

答案

1
n=1时已经成立
n=2时,r^2 + 1/r^2 = (r + 1/r)^2 - 2为整数
2、
假设r^k + 1/r^k为整数,对于k=1,2,...,n-1都成立
（第二类归纳法、完整归纳法）
(r^(n-1) + 1/r^(n-1))(r + 1/r) = r^n + 1/r^n + r^(n-2) + 1/r^(n-2)
所以
r^n + 1/r^n = (r^(n-1) + 1/r^(n-1))(r + 1/r) - (r^(n-2) + 1/r^(n-2))
由假设条件,
r^(n-1) + 1/r^(n-1)、r + 1/r、r^(n-2) + 1/r^(n-2)都是整数
所以r^n + 1/r^n 整数