题目

三角形外接圆面积与三角形面积之比的最小值是多少,

提问时间：2020-12-23

答案

根据正弦定理：
a=2rsinA,b=2rsinB,r为△ABC的外接圆.
△ABC的面积为：
S△=(1/2)absinC=2r^2sinAsinBsinC
三角形外界圆的面积为：
S○=πr^2
所以：S○/S△=π/(2sinAsinBsinC)
令y=2sinAsinBsinC,则求S○/S△的最小值等效于求y的最大值.
由上可见,三角形外接圆的面积和三角形的面积之比和三角形外接圆的半径无关.另外,底边相等的三角形,高大者面积也大.所以圆内接三角形,同底边时,高通过圆心时高最大,因而面积也最大,这时的三角形为等腰三角形.因此,圆内接三角形面积最大者,应在等腰三角形中寻找.令：C为△ABC的顶角,A、B为底角,则：
sinA=sinB=cos(C/2),所以：
y=2(cos(C/2))^2sinC
=(1+cosC)sinC
=sinC+(1/2)sin2C
求导数dy/dC=cosC+cos2C,令dy/dC=0得：
C=60°；C=60°处的二阶导数为d^2y/dC^2=-sinC-2sin2C=-3√3/2＜0,所以当C=60°时,y取最大值3√3/4,所以：S○/S△的最小值为：
4π/(3√3)