题目

求数列的通项公式,a1=1,a2=2,an=1/3[a(n-1)+2a(n-2)]

提问时间：2020-12-23

答案

由an=1/3[a(n-1)+2a(n-2)]
可设an+k1*a(n-1)=k2*[a(n-1)+k1*2a(n-2)]
于是
k2-k1=1/3,
k2*K1=2/3
解得k2=1,k1=2/3或k2=-2/3,k1=-1
取k2=-2/3,k1=-1得
an-a(n-1)=-2/3[a(n-1)-a(n-2)]
所以n>2时
an-a(n-1)=-2/3[a(n-1)-a(n-2)]=...
=(-2/3)^(n-2)[a(2)-a(1)]
=(-2/3)^(n-2)
n=2时an-a(n-1)=(-2/3)^(n-2)=1也成立
则n>1时
an=an-a(n-1)+.+a2-a1+a1
=a1+a2-a1+.+an-a(n-1)
=a1+(-2/3)^(2-2）+.+(-2/3)^(n-2）
=a1+(-2/3)^(2-2）*[1-(-2/3)^(n-1）]/[1-(-2/3)]
=a1+3/5*[1-(-2/3)^(n-1）]
=8/5-3/5*(-2/3)^(n-1)
而n=1时an=8/5-3/5*(-2/3)^(n-1)=1成立
所以,通项公式为an=8/5-3/5*(-2/3)^(n-1)