题目
正定二次型是什么?
怎样判定一个二次型是正定的?
怎样判定一个二次型是正定的?
提问时间:2020-12-23
答案
定义:设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)>0,则称此二次型为正定二次型,并把其对称矩阵A称为正定矩阵.
正定二次型的判别方法:
a):二次型标准形中n个系数都大于零,则其为正定;
b):二次型的对称矩阵A的n个特征值大于零,则其为正定;
c):对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于零,则其为正定.
注:设A为n阶方阵,则位于A的左上角的1阶,2阶,...,n阶子式,
即:称为A的各阶顺序主子式.
例1:判别二次型的正定性.
方法一:利用二次型的对称矩阵的特征值来判断.
先写出二次型的矩阵:
由于:
可得其全部特征值:>0,>0,>0
故此二次型为正定二次型.
方法二:利用二次矩阵的各阶顺序主子式来判定.
由于此二次型的矩阵为:
因为它的个阶顺序主子式:>0,>0,>0
故此二次型为正定二次型.
除了正定二次型外,还有其他类型的二次型.
定义:设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)<0,则称此二次型为负定二次型,对称矩阵A称为负定矩阵;如果都有f(x)≥0,则称此二次型为半正定二次型,并称其矩阵为半正定矩阵;如果都有f(x)≤0,则称此二次型为半负定二次型,并称其矩阵为半负定矩阵.
正定二次型的判别方法:
a):二次型标准形中n个系数都大于零,则其为正定;
b):二次型的对称矩阵A的n个特征值大于零,则其为正定;
c):对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于零,则其为正定.
注:设A为n阶方阵,则位于A的左上角的1阶,2阶,...,n阶子式,
即:称为A的各阶顺序主子式.
例1:判别二次型的正定性.
方法一:利用二次型的对称矩阵的特征值来判断.
先写出二次型的矩阵:
由于:
可得其全部特征值:>0,>0,>0
故此二次型为正定二次型.
方法二:利用二次矩阵的各阶顺序主子式来判定.
由于此二次型的矩阵为:
因为它的个阶顺序主子式:>0,>0,>0
故此二次型为正定二次型.
除了正定二次型外,还有其他类型的二次型.
定义:设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)<0,则称此二次型为负定二次型,对称矩阵A称为负定矩阵;如果都有f(x)≥0,则称此二次型为半正定二次型,并称其矩阵为半正定矩阵;如果都有f(x)≤0,则称此二次型为半负定二次型,并称其矩阵为半负定矩阵.
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