题目

设函数f（x）=x²+|x-2|-1，x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的最小值．

提问时间：2020-12-23

答案

（1）f（x）=

x2+x−3 x≥2 x2−x+1，x＜2.

若f（x）奇函数，则f（-x）=-f（x）所以f（0）=-f（0），即f（0）=0．
∵f（0）=1≠0，
∴f（x）不是R上的奇函数．
又∵f（1）=1，f（-1）=3，f（1）≠f（-1），
∴f（x）不是偶函数．
故f（x）是非奇非偶的函数．
（2）当x≥2时，f（x）=x²+x-3，为二次函数，对称轴为直线x=−

1

2

，
则f（x）为[2，+∞）上的增函数，此时f（x）_min=f（2）=3．
当x＜2时，f（x）=x²-x+1，为二次函数，对称轴为直线x=

1

2

则f（x）在（-∞，

1

2

）上为减函数，在[

1

2

，2）上为增函数，
此时f（x）_min=f（

1

2

）=

3

4

．
综上，f（x）_min=

3

4

．

本题第一问考查分段函数的奇偶性，用定义判断；第二问是求最值的题目：求最值时，先判断函数在相应定义域上的单调性，在根据单调性求出函数的最值．

本题考点：函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．

考点点评：函数的奇偶性是高考常考的题目，而出的题目一般比较简单，常用定义法判断；函数的最值也是函数问题中常考的题目，一般先判断函数的单调性，在求最值，而学生往往忽略了判断单调性这一步．