题目

设a,b,c是△ABC的三边,S是三角形的面积,求证c^2-a^2-b^2+4ab≥(4√3)S

提问时间：2020-12-23

答案

已知三角形三边a,b,c,半周长p=(a+b+c)/2,
则S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)](海伦公式)
=√[(a+b+c)/2((-a+b+c)/2)((a-b+c)/2)((a+b-c)/2)]
=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]/4
=√[((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2)]/4
则(4√3)S=√[3((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2)]
看不清楚可以令:x=c^2-(a-b)^2>0,y=(a+b)^2-c^2>0,则：
(4√3)S=√(3xy)
x+y=4ab
x-y=2(c^2-a^2-b^2)
c^2-a^2-b^2+4ab=(x-y)/2+(x+y)=(3x+y)/2≥2√(3xy)/2=(4√3)S