题目

如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF．

（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？

提问时间：2020-12-22

答案

（1）四边形ADEF为平行四边形，
证明：∵△ABD和△EBC都是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC；
∵∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA
∴∠DBE=∠ABC；
∵在△BDE和△BAC中

BD＝BA ∠DBE＝∠ABC BE＝BC

，
∴△BDE≌△BAC
∴DE=AC=AF
同理可证：△ECF≌△BCA，
∴EF=AB=AD
∴ADEF为平行四边形；
（2）AB=AC时，▱ADEF为菱形，当∠BAC=150°时▱ADEF为矩形．
理由是：∵AB=AC，
∴AD=AF．
∴▱ADEF是菱形．
∴∠DEF=90°
=∠BED+∠BEC+∠CEF
=∠BCA+60°+∠CBA
=180-∠BAC+60°
=240°-∠BAC，
∴∠BAC=150°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠DAF=90°，
∴平行四边形ADEF是矩形．

（1）由题意易得△BDE≌△BAC，∴DE=AC=AF，同理可证，EF=AB=AD，∴ADEF为平行四边形；
（2）AB=AC时，可得ADEF的邻边相等，所以ADEF为菱形，AEDF要是矩形，则∠DEF=90°，由∠DEF=∠BED+∠BEC+∠CEF，可推出∠BAC=150°时为矩形．

本题考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；菱形的判定；矩形的判定．

考点点评：此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定．