题目

已知函数f（x）的值域[0，4]（x∈[-2，2]），函数g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，∀x₁∈[-2，2]，总∃x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，则实数a的取值范围是______．

提问时间：2020-12-22

答案

根据题意，分情况讨论可得：
①a＞0时，

−2a−1≤0 2a−1≥4

，得a≥

5

2

；
②a＜0时，

−2a−1≥4 2a−1≤0

，得a≤-

5

2

，
③a=0时，g（x）=ax-1=-1，∴a∈∅
则实数a的取值范围是[-∞，-

5

2

]∪[

5

2

，+∞]．
故答案为[-∞，-

5

2

]∪[

5

2

，+∞]．

由题意知，g（x）的值域包含f（x）的值域，g（x）的值域与a的正负有关，分a＞0，a＜0两类求解，两类中分别得出端点值的大小关系，求两个不等式组，得到关于a的两个范围，求并集可得a的取值范围．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查函数的值域，集合间的关系，解不等式组等知识点；把集合间的关系转化为不等式组求参数范围，可借助数轴；求值域时用分类讨论的思想．