题目

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(c≠0）（1）若A.B.C,且f(1)=0,证明：f(x)的图象与x轴有2个交点；（2）若常熟x1
x2∈R,且x1,x2,f(x1)≠f(x2),求证：方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]必有一根属于（x1,x2)

提问时间：2020-12-22

答案

(1)由f(1)=0,可以知道a+b+c=0
而判别式b²-4ac=（a+c)²-4ac=(a-c)²>=0
所以f(x)的图象与x轴有2个交点；
注：要是判别式等于0,说明是有两个相同的交点.
(2)方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)],变形可以知道
令F(x)=[f(x)-f(x1)]+[f(x)-f(x2)]=0
容易知道F(x1)=[f(x1)-f(x1)]+[f(x1)-f(x2)]=f(x1)-f(x2),
F(x2)=[f(x2)-f(x1)]+[f(x2)-f(x2)]=f(x2)-f(x1),
故F(x1)F(x2)