题目

设f(x)在[0,1]上连续且在（0,1）内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.证明:（1）至少有一点m属于（1/2,1）,
设f(x)在[0,1]上连续且在（0,1）内可导，且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.证明:（1）至少有一点m属于（1/2,1），使得f(m)=m;
(2)对于任意a属于实数R，存在x属于(0,m),使得f '(x)－a[f (x)－x]=1

提问时间：2020-12-22

答案

1）令g(x)=f(x)-x 因为f(x)在[0,1]内连续 所以g(x)在(0,1)内也是连续的
又当x=1 时g(1)=0-1=-1<0 , 当x=1/2 时 g(1/2)=1-0=1>0
即g(1)*g(1/2)<0 所以 存在m 使得 当m在(1/2,1)时 有g(m)=0即 f(m)=m
2) 令H(x)=g(x)/e^ax 则当x=0 时H(0)=0/1=0 当x=m 时 由1）知g(m)=0 则此时 H(x)=0
即有H(0)=H(m) 又H(x)在(0,m)连续可导
所以由罗尔中值定理得存在 x 使得 H’(x)=0
即 [g'(x)-a*g(x)]/e^ax=0
所以 有g'(x)-a*g(x)]=f '(x)-1-a[f (x)－x]=0 原命题得证