题目

方程式 x^4+(2m+1)x^3-(3m-3)x^2-(5m+17)x+(6m+14)=0有4个解 其中 有且只有 2个解相等,求m的值
抱歉,是 x^4+(2m-1)x^3-(3m-3)x^2-(5m+17)x+(6m+14)=0

提问时间：2020-12-22

答案

方程x^4+(2m-1)x³-(3m-3)x²-(5m+17)x+(6m+14)=0可化为
(x-1)(x-2)[x²+2(m+1)x+(3m+7)]=0
原方程有4个解,且其中有且只有2个解相等时,分三种情况讨论：
记方程x²+2(m+1)x+(3m+7)=0为方程（*）,
①方程（*）有一个解为1,另一个解既不是1也不是2；
∵方程（*）有一个解为1,
∴1²+2(m+1) ×1+(3m+7)=0,得m= -2,
检验：当m= -2时,方程（*）为x²-2x+1=0,有两个相等实根x=1,
此时原方程有4个解,但有3个是1,∴m= -2不符合题意,故舍去；
②方程（*）有一个解为2,另一个解既不是1也不是2；
∵方程（*）有一个解为2,
∴2²+2(m+1) ×2+(3m+7)=0,得m= -15/7,
检验：当m= -15/7时,方程（*）为7x²-16x+2=0,
有两个实根x=2,和x=2/7,
此时原方程有4个解,但恰有2个是1,另两个分别为x=1,和x=2/7,
∴m= -15/7符合题意；
③方程（*）有两个相等实根,且既不是1也不是2；
∵方程（*）有两个相等实根,
∴判别式4(m+1)²-4(3m+7)=0,
得m= -2,或m=3,
检验：由①知,m= -2舍去；
当m=3时,方程（*）为x²+8x+16=0,有两个相等实根x= -4,
此时原方程有4个解,但恰有2个是-4,另两个分别为x=1,和x=2,
∴m= 3符合题意；
综上所解,m的值为-15/7,或3.