题目

设函数y=f(x)=loga (a-ka^x)(a>0,a≠1,k∈R) 1.若函数y=f(x)的反函数是其本身,求k的值
1.若函数y=f(x)的反函数是其本身,求k的值
2.在1的条件下,求f(x)≧0的解集
3.我们学过许多函数的反函数就是其本身,列如y=x,y=1/x等,请你再举出出了上述3种类型之外的2个函数,使得函数的反函数就是其本身

提问时间：2020-12-22

答案

因为y=f(x)=loga (a-ka^x) (a>0,a≠1,k∈R)
a-ka^x=a ^y
a-a ^y=ka^x
a^x=（a-a ^y）/k
x=loga[ (a-a^y) /k]
所以y=f(x)的反函数是
y=loga[ (a-a^x) /k]
（1）函数y=f(x)的反函数是其本身
所以有loga[ (a-a^x) /k]=loga (a-ka^x)
解得 k=1
（2）因为k=1
所以f(x)=loga (a-a^x) (a>0,a≠1,k∈R)
f(x)≧0
即 loga (a-a^x) ≥0
a-a^x ≥1
a^x ≤a-1
xlga≤lg（a-1）
当a＞1时,x≤lg（a-1）/lga=log(a)(a-1) ——以a为底a-1的对数
当0＜a＜1时,x≥lg（a-1）/lga=log(a)(a-1)
（3）另外两个函数
x+y=1,x²+y²=r²