题目

怎么证明质数p|(p-1)!+1 ?

提问时间：2020-12-22

答案

Wilson定理呀
取模p的原根g,
则g^1,g^2,...,g^(p-1)关于模p都不相同,即它们关于模p正好构成1,2,...,p-1.
所以
(p-1)!=g^1 * g^2 * ... * g^(p-1) = g^{p(p-1)/2}= {g^(p-1)}^{(p-1)/2} * g^{(p-1)/2}.
而g^(p-1)=1 (mod p)费马尔小定理
g为原根,所以g^{(p-1)^2}!=1 (mod p),模p的乘法为一个乘法群,x^2=1,而x!=1则x=-1
所以 g^{(p-1)^2}=-1 (mod p)
即(p-1)!=-1(mod p).