题目

有关不等式的证明
设a,b,c是正实数,且abc=1,求证：
1/(1+2a)+1/(1+2b)+1/(1+2c)>=1

提问时间：2020-12-21

答案

我来试试吧...
总体思路：用局部不等式的方法,
我们构造...
1/(1+2a)≥ (a^k)/(a^k+b^k+c^k),
上式等价于 b^k+c^k ≥ 2a^(k+1)
这由平均值不等式和abc=1
b^k+c^k≥2√(b^kc^k)=2√(a^-k)令=2a^(k+1)
解得k=-2/3
同理,
1/(1+2b)≥ (b^k)/(a^k+b^k+c^k),
1/(1+2c)≥ (c^k)/(a^k+b^k+c^k),
把以上三式相加便可