题目

函数一致连续性问题
我觉得我始终不能理解这个,请大侠,给我举几个例子,最好能证明一个函数是一直连续,

提问时间：2020-12-21

答案

大致可以这样来理解（不严格）,对于一致连续函数,在一段区间内,每一点的倾斜程度（斜率的绝对值）不会超过某个数值,对于一般的连续则没有这个要求.
y=x,y=√x,在定义域内都是一致连续的.
对于y=x^k,在容易有限区间内（上）都是一致连续的.
一般说来,在闭区间上的连续函数总是一致连续的.教科书上有很多一致连续函数的例子,上面也有证明.
很多连续函数并非一致连续.
对于函数f(x)=1/x （x∈(0, 1)）它就不是一直连续,在x接近0时,非常陡峭,其切线的斜率没有一个限度；y=tan x（x∈(-π/2, π/2)）在±π/2附近,斜率也是没有一个限度.一般说来,在有限区间取值可以到正（负）无穷的函数,肯定不是一致连续函数.但是非一致连续函数并不仅限于此,如函数y=arcsin(x)亦不是一致连续（在x接近1时,斜率越来越大,没有一个限度）,但是他在定义域内取值范围有限.