题目

如图，抛物线y=x²+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S_△APC：S_△ACD=5：4的点P的坐标；
（3）点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的坐标．

提问时间：2020-12-21

答案

（1）∵直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B，
∴点B（0，-3），点A（3，0），
将A与B坐标代入抛物线y=x²+bx-c得：

−c＝−3 9+3b−c＝0

，
解得：c=3，b=-2，
则抛物线的解析式是y=x²-2x-3；
（2）∵抛物线的解析式是y=x²-2x-3，
∴C（-1，0），顶点D（1，-4），
由点P为抛物线上的一个动点，故设点P（a，a²-2a-3），
∵S_△APC：S_△ACD=5：4，
∴（

1

2

×4×|a²-2a-3|）：（

1

2

×4×4）=5：4，
整理得：a²-2a-3=5或a²-2a-3=-5（由△＜0，得到无实数解，舍去），
解得：a₁=4，a₂=-2，
则满足条件的点P的坐标为P₁（4，5），P₂（-2，5）；
（3）如图所示，A、B、D分别为M₁M₃、M₁M₂、M₂M₃的中点，
∵四边形ADBM₁为平行四边形，
∴AB与M₁D互相平分，即E为AB中点，E为M₁D中点，
∵A（3，0），B（0，-3），
∴E（

3

2

，-

3

2

），
又∵D（1，-4），
∴M₁（2，1），
∴M₂（-2，-7），M₃（4，-1），
则满足题意点M的坐标为：M₁（2，1），M₂（-2，-7），M₃（4，-1）．

（1）对于一次函数y=x-3，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，代入抛物线解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式求出C与D坐标，根据P为抛物线上的点，设P（a，a²-2a-3），三角形APC由AC为底，P纵坐标绝对值为高，利用三角形面积表示出，三角形ACD面积由AC为底，D纵坐标绝对值为高表示出，根据题意列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出此时P的坐标；
（3）画出图形，如图所示，根据题意得到A、B、D分别为M₁M₃、M₁M₂、M₂M₃的中点，由四边形ADBM₁为平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分得到AB与M₁D互相平分，即E为AB中点，E为M₁D中点，根据A与B的坐标求出E的坐标，再利用线段中点坐标公式求出M₁坐标；进而求出M₂、M₃的坐标即可．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，以及待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．