题目
求曲面z=x^2+y^2和z=6-2x^2-2y^2所围成的立体的体积
提问时间:2020-12-21
答案
图形是一个开口向上的抛物面和一个开口向下的抛物面围成的立体
不用考虑图形具体的样子
首先求立体在xy坐标面上的投影区域
把两个曲面的交线投影到xy面上去
即两个方程联立:
z=x²+y² .①
z=6-2x²-2y² .②
①-②得:
x²+y²-6+3x²+3y²=0
x²+y²=2
所以立体在xy坐标面上的投影区域是D:x²+y²≤2
其次,根据二重积分的几何意义
立体的体积是两个曲顶柱体的体积的差
两个曲顶分别是:
z=x²+2y²
z=6-2x²-y²
很容易判断得到:
z=6-2x²-y²在Z=x²+2y²上方
所以,立体的体积:
V=∫∫(D)[(6-2x^2-2y^2)-(x^2+2y^2)]dxdy
在极坐标系下化为累次积分:
V=∫(0~2π)dθ∫(0~√2)(6-3ρ^2)ρdρ=6π
不用考虑图形具体的样子
首先求立体在xy坐标面上的投影区域
把两个曲面的交线投影到xy面上去
即两个方程联立:
z=x²+y² .①
z=6-2x²-2y² .②
①-②得:
x²+y²-6+3x²+3y²=0
x²+y²=2
所以立体在xy坐标面上的投影区域是D:x²+y²≤2
其次,根据二重积分的几何意义
立体的体积是两个曲顶柱体的体积的差
两个曲顶分别是:
z=x²+2y²
z=6-2x²-y²
很容易判断得到:
z=6-2x²-y²在Z=x²+2y²上方
所以,立体的体积:
V=∫∫(D)[(6-2x^2-2y^2)-(x^2+2y^2)]dxdy
在极坐标系下化为累次积分:
V=∫(0~2π)dθ∫(0~√2)(6-3ρ^2)ρdρ=6π
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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