题目

正四面体外接圆半径与内切圆半径比为多少

提问时间：2020-12-21

答案

设四面体边长为a 外接球半径为R 内切球半径为r
则高为h=(a*根号3)/3 三角形面积s=(a平方*根号3)/4 体积为(1/3)*s*h……方程一
亦等于4个以三角形面为底的小四面体体积之和 即4*(1/3)*s*r……方程二
由方程一二得 r=(1/4)*h=(根号6/12)*a
由一侧边和四面体高以及底面三角形中心与底面三角形顶点的连线构成三角形一
该侧边与2个外接圆半径(其中一半径落于四面体高上)构成三角形二
则三角形一中余下直角三角形三
三角形三中落于四面体高上的边长由勾股定理得 L=根号[R平方-a平方*(1/3)]
三角形一中 四面体高 h=a*(根号6/3)……方程三
亦等于R+L……方程四
由方程三四得 R=(根号6/4)*a
故外接球与内切球半径比为 3