题目

证明15阶交换群必为循环群

提问时间：2020-12-21

答案

基本上所有的抽象代数的书上都会有这条定理：如果群G是交换的,并且阶为p*q（p,q为素数）,那么G一定是循环群.
证明一般用的是柯西定理或者希洛定理.以下证明用到柯西定理.
柯西定理：若G是一个有限群且p是一个可整除G的阶（G的元素数目）的质数,则G会有一个p阶的元素.
在本题中15=3*5,所以群中一定有一个三阶的元素a和一个5阶的元素b.那么c=a*b一定是一个15阶的元素.由此可证该群一定是由c生成的循环群.
楼主如果对细节还有问题的话,可以给我留言.