题目

【高等数学】求形心.质量均匀分布在心形线r=a(1-cosθ)(a＞0)所围区域
求质量均匀分布在心形线r=a(1-cosθ)(a＞0)所围区域的形心,注意：是区域的形心,不是心形线的形心.要用二重积分算.

提问时间：2020-12-21

答案

设密度是ρ.
那么所围区域的质量m=ρ∫∫ds=ρ∫∫rdrdθ=ρ∫(0->2π)dθ ∫(0->a(1-cosθ)) rdr=3πa^2ρ/2
由于心形线是关于x轴对称的,所以型心的纵坐标y0=0
x0=ρ∫∫xds /m=ρ∫∫r^2cosθdrdθ /m=ρ∫(0->2π)cosθdθ ∫(0->a(1-cosθ)) r^2dr /m
=(-5πa^3ρ/4) / (3πa^2ρ/2)
=-5a/6
所以型心是(-5a/6,0)