题目

已知三角形ABC,AB=c,BC=a,AC=b.AB上的中线CD=m,求证a*a+b*b=0.5c*c+2m*m
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提问时间：2020-12-20

答案

过C作CF垂直AB于F,
在直角三角形AFC中：b*b=AF*AF+CF*CF,
在直角三角形BFC中：a*a=CF*CF+BF*BF,
在直角三角形DFC中：CF*CF=m*m-DF*DF,
a*a+b*b=AF*AF+BF*BF+2m*m-2DF*DF
=2m*m+（AF*AF-DF*DF）+（BF*BF- DF*DF）
= 2m*m+（AF+DF）（AF-DF）+（BF+ DF）（BF-DF）
= 2m*m+AD*（AF-DF）+（BF+ DF）*BD
=2m*m+0.5c*(AF-DF+BF+DF)
=2m*m+0.5c*c