题目
如图,△ABC中,∠A=60°,BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,并交于点O.求证:OE=OF.
提问时间:2020-12-20
答案
证明:在CB上截取CG=CF,连接GO,
由三角形内角和定理,在△ABC中,
2∠FBC+2∠ECB+60°=180°,
解得:∠FBC+∠ECB=60°,
在△OBC中,∠BOC=180°-(∠FBC+∠ECB)=180°-60°=120°,
∴∠FOE=∠BOC=120°,
在△CFO和△CGO中,
∴△CFO≌△CGO(SAS),
∴∠FOC=∠GOC,FO=GO,
由∠BOG+∠GOC=120°,
又∵∠BOG+2∠GOC=180°,
解得:∠BOG=∠GOC=∠FOC=60°
在△BEO和△BGO中,
,
∴△BEO≌△BGO(AAS),
∴EO=OG,
∴FO=EO.
由三角形内角和定理,在△ABC中,
2∠FBC+2∠ECB+60°=180°,
解得:∠FBC+∠ECB=60°,
在△OBC中,∠BOC=180°-(∠FBC+∠ECB)=180°-60°=120°,
∴∠FOE=∠BOC=120°,
在△CFO和△CGO中,
|
∴△CFO≌△CGO(SAS),
∴∠FOC=∠GOC,FO=GO,
由∠BOG+∠GOC=120°,
又∵∠BOG+2∠GOC=180°,
解得:∠BOG=∠GOC=∠FOC=60°
在△BEO和△BGO中,
|
∴△BEO≌△BGO(AAS),
∴EO=OG,
∴FO=EO.
根据三角形的内角和定理,得出∠FBC+∠ECB=60°,在△OBC中,即可求出∠BOC=120°,根据对顶角相等即可求出∠FDE的度数,作辅助线在CB上截取CG=CF,可证出△CFO≌△CGO(SAS),即可得出∠FOC=∠GOC,FO=GO,再可证出△BEO≌△BGO,即可得出FO=EO.
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本题考查了三角形的内角和定理,角平分线的定义,以及全等三角形的性质,难度适中.
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