题目

函数y=fx定义在实数集R上,对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0）=1,y=f(x)为偶函数.求证：
若存在常数c,使f(c/2)=0,求证：对于任意x∈R,有f(x+c)=-f(x).

提问时间：2020-12-19

答案

这个结论用不到所有条件.
对任意u ∈ R,取x = u+c/2,y = c/2.
代入条件得f(u+c)+f(u) = 2f(u+c/2)f(c/2) = 0,即f(u+c) = -f(u).