题目

当x属于R时函数y=f(x)满足f(2002+x)+f(2004+x)=f(2003+x),且f（1）=2,f（2）=5,则f（2007）=?

提问时间：2020-12-18

答案

当x属于R时函数y=f(x)满足f(2002+x)+f(2004+x)=f(2003+x),且f（1）=2,f（2）=5,则f（2007）=?
解析：∵f(2002+x)+f(2004+x)=f(2003+x)
令x=x+1代入上式得f(2003+x)+f(2005+x)=f(2004+x)==> f(2003+x)=f(2004+x)-f(2005+x)
∴f(2004+x)-f(2005+x)= f(2002+x)+f(2004+x)∴f(2002+x)=-f(2005+x)
令x=x+2002代入上式得,f(x)=-f(x+3)
令x=x+3代入上式得f(x+3)=-f(x+6)
∴f(x)=f(x+6),f（x）是以6为最小正周期的周期函数
令x=-2001代入f(2002+x)+f(2004+x)=f(2003+x) 得f(1)+f(3)=f(2)
∴f(2007)=f(3+6*336)=f(3)=f(2)-f(1)
∵.f（1）=2,f（2）=5
∴f(2007)=f(2)-f(1)=3