题目
如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点M,N分别是AD,BC的中点,点E,F分别是BM,CM的中点.
(1)求证:四边形MENF是菱形;
(2)当四边形MENF是正方形时,求证:等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半.
(1)求证:四边形MENF是菱形;
(2)当四边形MENF是正方形时,求证:等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半.
提问时间:2020-12-18
答案
(1)证明:∵四边形ABCD为等腰梯形,
∴AB=CD,∠A=∠D,
∵M为AD的中点,
∴AM=DM,
在△ABM和△DCM中,
∴△ABM≌△DCM(SAS),
∴BM=CM,
∵点E,F,N分别是BM,CM,BC的中点,
∴EN=
CM,FN=
BM,ME=
BM,MF=
CM,
∴EN=FN=FM=EM,
∴四边形MENF是菱形.
(2)连结MN,
∵BM=CM,BN=CN,
∴MN⊥BC,
∵AD∥BC,
∴MN⊥AD,
∴MN是梯形ABCD的高,
又∵四边形MENF是正方形,
∴△BMC为直角三角形,
又∵N是BC的中点,
∴MN=
BC,
即等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半.
∴AB=CD,∠A=∠D,
∵M为AD的中点,
∴AM=DM,
在△ABM和△DCM中,
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∴△ABM≌△DCM(SAS),
∴BM=CM,
∵点E,F,N分别是BM,CM,BC的中点,
∴EN=
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∴EN=FN=FM=EM,
∴四边形MENF是菱形.
(2)连结MN,
∵BM=CM,BN=CN,
∴MN⊥BC,
∵AD∥BC,
∴MN⊥AD,
∴MN是梯形ABCD的高,
又∵四边形MENF是正方形,
∴△BMC为直角三角形,
又∵N是BC的中点,
∴MN=
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即等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半.
(1)证明△ABM≌△DCM,可得BM=CM,然后根据EN、FN是△BMC的中位线,可得EN=FN=FM=EM,继而判断四边形MENF是菱形;
(2)首先判断MN是等腰梯形ABCD的高,然后利用直角三角形的斜边中线等于斜边一半,证明结论.
(2)首先判断MN是等腰梯形ABCD的高,然后利用直角三角形的斜边中线等于斜边一半,证明结论.
等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定.
本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质及直角三角形斜边中线的性质,涉及的知识点较多,关键是各知识点的熟练掌握.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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