题目

函数y=sinx+cosx+sinxcosx，（x∈R）的值域是 ___ ．

提问时间：2020-12-18

答案

令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，则有 t²=1+2sinxcosx，
故函数y=sinx+cosx+sinxcosx=t+

t2-1

2

=

1

2

（t+1）²-1，
∴当t=-1时，函数取得最小值为-1，当t=

2

时，函数取得最大值为

2

+

1

2

，
故函数的值域为[-1，

2

+

1

2

]，
故答案为：[-1，

2

+

1

2

]．

令t=sinx+cosx∈[-

2

，

2

]，则函数即y═

1

2

（t+1）²-1，再利用二次函数的性质求得函数的值域．

本题考点：三角函数的最值．

考点点评：本题主要考查求三角函数的最值，二次函数的性质，属于基础题．