题目

在△ABC中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBsinC,求∠C的度数

提问时间：2020-12-18

答案

(a+b+c)(b+c-a)=3bc
（b+c)²-a²=3bc
b²+2bc+c²-a²=3bc
b²+c²-a²=bc
∴cosA=(b²+c²-a²)/2bc=bc/2bc=1/2
∴sinA=√3/2
A=60°
求不出∠C
是不是：sinA=2sinBcosC
sinA=2sinBcosC
sinA=sin(π-B-C)
=sin(B+C)
=sinBcosC+cosBsinC
则sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC
则sinBcosC=cosBsinC
显然cosB,cosC都不为0,则两边同除cosBcosC有
tanB=tanC
又B,C∈(0,π)
则B=C
又B+C=π-A=2π/3
则B=C=π/3=60°