题目

设函数u=f（x，y，z）有连续偏导数，且z=z（x，y）由方程xe^x-ye^y=ze^z所确定，求du．

提问时间：2020-12-18

答案

∵u=f（x，y，z）有连续偏导数
∴du=f′_xdx+f′_ydy+f′_zdz
又∵z=z（x，y）由方程xe^x-ye^y=ze^z所确定
∴对方程两边求微分得：
d（xe^x-ye^y）=d（ze^z）
即
（x+1）e^xdx-（y+1）e^ydy=（z+1）e^zdz
∴dz＝

(1+x)exdx−(1+y)eydy

(1+z)ez

将其代入到du的表达式中，得
du＝(f′x+f′z

1+x

1+z

ex−z)dx+(f′y−f′z

1+y

1+z

ey−z)dy