题目

数列{a_n}按下列条件给出：a₁=2，当n为奇数时，a_n+1=a_n+2，当n为偶数时，a_n+1=2a_n，则a₂₀₀₄等于（　　）
A. 3×2¹⁰⁰¹-2
B. 3×2¹⁰⁰²
C. 3×2¹⁰⁰³-2
D. 3×2¹⁰⁰²-2

提问时间：2020-12-17

答案

由a_n+1=a_n+2，得a_n=a_n+1-2，即当n为奇数时，a_n=a_n+1-2，
由a_n+1=2a_n，得a_n=

1

2

a_n+1，即当n为偶数时，a_n=

1

2

a_n+1，
则a_2k-1+a_2k=a_2k-2+

1

2

a_2k+1=

1

2

a_2k+1-2+

1

2

（a_2k+2-2）=

1

2

（a_2k+1+a_2k+2）-3，
令b_k=a_2k-1+a_2k=

1

2

（a_2k+1+a_2k+2）-3=

1

2

b_k+1-3
b_k+1+6=2（b_k+6）成等比，公比为2，a₂=4，b₁+6=a₁+a₂+6=12，
b_k+6=12×2^k-1，即b_k=12×2^k-1-6=6（2^k-1），
则a₂₀₀₃+a₂₀₀₄=b₁₀₀₂=6（2¹⁰⁰²-1），
a₂₀₀₃=a₂₀₀₄-2，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄=2a₂₀₀₄-2=3（2¹⁰⁰²-1），
故选：C