题目

二元二次方程3x^2-xy+3y^2=7x+7y的整数解

提问时间：2020-12-17

答案

∵3x^2－xy＋3y^2＝7x＋7y,∴3x^2＋3y^2－6x－6y＝xy＋x＋y,
∴xy＋x＋y＝3（x^2＋y^2－2x－2y）.
∵x、y是整数,∴3（x^2＋y^2－2x－2y）是3的倍数,∴可令xy＋x＋y＝3t,其中t是整数.
显然有：x＋y＝3t－xy.······①
将①代入到原式中,得：3x^2－xy＋3y^2＝21t－7xy,∴3x^2＋6xy＋3y^2＝21t,
∴x^2＋2xy＋y^2＝7t,∴（x＋y）^2＝7t.
∵7是素数、t是整数,∴（x＋y）是7的倍数.
令x＋y＝7k,其中k是整数,得：（7k）^2＝7t,∴t＝7k^2.
将x＋y＝7k、t＝7k^2代入到①中,得：7k＝21k^2－xy,∴xy＝21k^2－7k.
∵x＋y＝7k、xy＝21k^2－7k,
∴由韦达定理可知：x、y是下列关于z的方程z^2－7kz＋21k^2－7k＝0的根.
自然,z是整数,∴z^2－7kz＋21k^2－7k＝0的判别式不小于0,
∴（－7k）^2－4（21k^2－7k）≧0,∴7k^2－12k^2＋4k≧0,∴5k^2－4k≦0,
∴k（k－4/5）≦0,∴0≦k≦4/5＜1,∴k＝0.
于是：x＋y＝0、xy＝0,∴x＝y＝0.
∴原方程的整数解是：x＝y＝0.