题目
已知函数f(x)=x-2/x+1-alnx,a>0
⑴讨论f(x)的单调性;
⑵设a=3,求f(x)在区间[1,e^2]上的值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数.
f(x)=x-(2/x)+1-alnx
⑴讨论f(x)的单调性;
⑵设a=3,求f(x)在区间[1,e^2]上的值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数.
f(x)=x-(2/x)+1-alnx
提问时间:2020-12-16
答案
[x^(-1)]'=-x^(-2)
f'(x)=1+2/x^2-a/x=(x^2-ax+2)/x^2
定义域x>0
所以x^2>0
x^2-ax+2=(x-a/2)^2-a^2/4+2
若2-a^2/4>=0
-2√2<=a<=2√2,又a>0
即0则x^2-ax+2恒大于等于0
则f'(x)>=0
增函数
若a>2√2
x^2-ax+2=0
x=[a±√(a^2-8)]/2
则若x^2-ax+2>0,x>[a+√(a^2-8)]/2,x<[a-√(a^2-8)]/2
若x^2-ax+2<0,[a-√(a^2-8)]/2 定义域x>0
综上
0a>2√2,则x>[a+√(a^2-8)]/2,0<[a-√(a^2-8)]/2时是增函数,
[a-√(a^2-8)]/2 a=3
f'(x)=1+2/x^2-3/x=(x^2-3x+2)/x^2=0,x=1,x=2
则x>2时是增函数,
1 所以x=2最小=2-3ln2
x=1或e^2最大
f(e^2)=e^2-2/e^2-5最大
[2-3ln2,e^2-2/e^2-5]
f'(x)=1+2/x^2-a/x=(x^2-ax+2)/x^2
定义域x>0
所以x^2>0
x^2-ax+2=(x-a/2)^2-a^2/4+2
若2-a^2/4>=0
-2√2<=a<=2√2,又a>0
即0则x^2-ax+2恒大于等于0
则f'(x)>=0
增函数
若a>2√2
x^2-ax+2=0
x=[a±√(a^2-8)]/2
则若x^2-ax+2>0,x>[a+√(a^2-8)]/2,x<[a-√(a^2-8)]/2
若x^2-ax+2<0,[a-√(a^2-8)]/2
综上
0a>2√2,则x>[a+√(a^2-8)]/2,0<[a-√(a^2-8)]/2时是增函数,
[a-√(a^2-8)]/2
f'(x)=1+2/x^2-3/x=(x^2-3x+2)/x^2=0,x=1,x=2
则x>2时是增函数,
1
x=1或e^2最大
f(e^2)=e^2-2/e^2-5最大
[2-3ln2,e^2-2/e^2-5]
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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