题目

已知x²＋y²－4x－6x＋12=0,x,y∈R.（1）求x²＋y²的最大,最小值（2）x分之y的最大最小值

提问时间：2020-12-16

答案

x²+y²-4x-6y+12＝0
→(x-2)²+(y-3)²＝1.
故可设
x-2＝cosθ,y-3＝sinθ.
(1)x²+y²
＝(2+cosθ)²+(3+sinθ)²
＝14+4cosθ+6sinθ
＝14+2√13sin(θ+φ)
(其中,tanφ＝2/3)
故所求最大值：14+2√13；
所求最小值为：14-2√13.
(2)设t＝y/x＝(2+sinθ)/(3+cosθ)
→sinθ-tcosθ＝3t-2.
∴[1²+(-t)²](sin²θ+cos²θ)≥(sinθ-tsinθ)²＝(3t-2)²
→8t²-12t+3≤0.
解得,(3-√3)/4≤t≤(3+√3)/4.
故所求最大值：(3+√3)/4;
所求最小值为：(3-√3)/4.