题目
已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆的焦距为2,离心率e=1/2,直线l:y=k(x-1)(k≠0)
已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆的焦距为2,离心率e=1/2,直线l:y=k(x-1)(k≠0)与椭圆E交于不通的两点P,Q
(1)求椭圆E的方程
(2)求线段PQ的垂直平分线在y轴上截距的取值范围
急需!
已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆的焦距为2,离心率e=1/2,直线l:y=k(x-1)(k≠0)与椭圆E交于不通的两点P,Q
(1)求椭圆E的方程
(2)求线段PQ的垂直平分线在y轴上截距的取值范围
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提问时间:2020-12-16
答案
(1)由以下三式可确定椭圆参数:
2c=2(焦距定义)
e=c/a=1/2(离心率定义)
a^2=b^2+c^2(参数关系)
解得a^2=4,b^2=3
所以椭圆E:x^2/4+y^2/3=1
(2)令P(x1,y1),Q(x2,y2)
将直线L方程代入椭圆E方程有(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12
由韦达定理有x1+x2=8k^2/(3+4k^2)(I)
因P、Q在直线L上,则有
y1=kx1-k
y2=kx2-k
两式相加并结合(I)得y1+y2=k(x1+x2)-2k=-6k/(3+4k^2)(II)
由中点坐标公式并结合(I)(II)得到PQ中点坐标
(x1+x2)/2=4k^2/(3+4k^2),(y1+y2)/2=-3k/(3+4k^2)
易知PQ垂直平分线的斜率为-1/k
用斜截式令PQ垂直平分线方程为:y=-(1/k)x+m
因PQ中点在PQ垂直平分线上,则坐标满足方程:
-3k/(3+4k^2)=-(1/k)*[4k^2/(3+4k^2)]+m
整理得 4mk^2-k+3m=0
若m=0,则k=0,这与题设矛盾
所以m≠0,而k存在,于是⊿=1-48m^2≥0
解得-√3/12≤m
2c=2(焦距定义)
e=c/a=1/2(离心率定义)
a^2=b^2+c^2(参数关系)
解得a^2=4,b^2=3
所以椭圆E:x^2/4+y^2/3=1
(2)令P(x1,y1),Q(x2,y2)
将直线L方程代入椭圆E方程有(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12
由韦达定理有x1+x2=8k^2/(3+4k^2)(I)
因P、Q在直线L上,则有
y1=kx1-k
y2=kx2-k
两式相加并结合(I)得y1+y2=k(x1+x2)-2k=-6k/(3+4k^2)(II)
由中点坐标公式并结合(I)(II)得到PQ中点坐标
(x1+x2)/2=4k^2/(3+4k^2),(y1+y2)/2=-3k/(3+4k^2)
易知PQ垂直平分线的斜率为-1/k
用斜截式令PQ垂直平分线方程为:y=-(1/k)x+m
因PQ中点在PQ垂直平分线上,则坐标满足方程:
-3k/(3+4k^2)=-(1/k)*[4k^2/(3+4k^2)]+m
整理得 4mk^2-k+3m=0
若m=0,则k=0,这与题设矛盾
所以m≠0,而k存在,于是⊿=1-48m^2≥0
解得-√3/12≤m
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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