题目

例1困惑：求数列：1,1+1/2,1+1/2+1/4,1+1/2+1/4+1/8+……的前n项和.
网友解：
an=1+1/2+1/4+……+1/2(n-1)=(1-1/2n)/(1-1/2)=2-1/2 (n-1)
所以Sn=2n-[1+1/2+1/4+……+1/2(n-1)]
=2n-an
=2n-2+1/2(n-1)
我的困惑：所以Sn=2n-[1+1/2+1/4+……+1/2(n-1)]
,为什么?

提问时间：2020-12-16

答案

1=2-1
1+1/2=2-1/2
1+1/2+1/4=2-1/4
1+1/2+1/4+1/8=2-1/8
……
1+1/2+1/4+……+1/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)
上述各式相加得
数列：1,1+1/2,1+1/2+1/4,1+1/2+1/4+1/8+……的前n项和
=1+（1+1/2）+（1+1/2+1/4）+（1+1/2+1/4+1/8）+……+[1+1/2+1/4+……+1/2^(n-1)]
=（2-1）+（2-1/2）+（2-1/4）+（2-1/8）+……+[2-1/2^(n-1)]
=2n-[1+1/2+1/4+……+1/2^(n-1)]
=2n-[2-1/2^(n-1)]
=2(n-1)+1/2^(n-1)