题目

一道数学立体几何大题
正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为√3,D为BC上的一点,在截面ADC1中,∠ADC1=90°.求：
（1）二面角C1-AD-C的大小；
（2）点B1到平面ADC1的距离.

提问时间：2020-12-15

答案

设BD=x,则CD=2-x
AD^2=AB^2+BD^2-2AB*BDcosπ/3
=4+x^2-2x
C1D^2=CC1^2+CD^2=3+(2-x)^2
AC1^2=3+4=7
三角形ADC1是直角三角形,
7=7+x^2-2x+(2-x)^2
4-6x+2x^2=0
(x-1)(x-2)=0
x1=1,x2=2(不符合题意,舍去）
D是BC中点
AD⊥BC,AD⊥DC1,则AD⊥平面BB1C1C
（1）二面角C1-AD-C的大小就是角CDC1,其正切=CC1/CD=√3
所以所求二面角为π/3
(2)
由（1）知AD⊥平面BB1C1C,即AD⊥C1D
作B1E⊥C1D于E,B1E,C1E都在平面BB1C1C内
B1E⊥C1E,B1E⊥AD,则B1E⊥平面ADC1
BE即为所求点B1到平面ADC1的距离
由（1）知：C1D=2,CD=1,角DC1C=30度
所以,角B1C1E=60度
B1C1=2,B1E=B1C1sinπ/3=√3
所以,点B1到平面ADC1的距离=√3