题目

已知函数f(x)=2^x+2^(ax+b),且f(1)=5/2,f(2)=17/4
(1)求a,b的值 （2）判断f(x)的奇偶性 （3）试判断f(x)在【负无穷,0】上的单调性,并证明；（4）求f（x）的最小值.

提问时间：2020-12-15

答案

1)由f(1)=5/2,f(2)=17/4
代入,得
f(1)=2+2^(a+b)=5/2,
2^(a+b)=1/2
=>a+b=-1 ①
f(2)=2^2+2^(2a+b)=17/4
2^(2a+b)=1/4,
=>2a+b=-2 ②
联立①②,解得
a=-1,b=0
2）
所以f(x)的解析式为
f(x)=2^x+2^(-x)
f(-x)=2^(-x)+2^(x)=f(x)
所以f(x)是偶函数
3）f(x)=2^x+2^(-x)=2^x+1/2^x
x《0时,递减.
证明x10
所以f(x1)>f(2)
所以f(x)在(负无穷,0]递减
得证
2）f(x)=2^x+1/2^x
》2*[2^x*2^(-x)]^(1/2)
=2
当且仅当x=0时,取等.
所以f(x)的最小值为2