题目

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB．A，B两点的坐标分别是（-1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数y=

k

x

（k＜0）的图象上，则k等于 ___ ．

提问时间：2020-12-14

答案

设点C坐标为（a，

k

a

），（k＜0），点D的坐标为（x，y），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD的中点坐标相同，
∴（

a-1

2

，

k

2a

）=（

x

2

，

y+2

2

），
则x=a-1，y=

k-2a

a

，
代入y=

k

x

，可得：k=2a-2a² ①；
在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

5

，
∴BC=2AB=2

5

，
故BC²=（0-a）²+（

k

a

-2）²=（2

5

）²，
整理得：a⁴+k²-4ka=16a²，
将①k=2a-2a²，代入后化简可得：a²=4，
∵a＜0，
∴a=-2，
∴k=-4-8=-12．
故答案为：-12．
方法二：
因为ABCD是平行四边形，所以点C、D是点A、B分别向左平移a，向上平移b得到的．
故设点C坐标是（-a，2+b），点D坐标是（-1-a，b），（a＞0，b＞0）
根据K的几何意义，|-a|×|2+b|=|-1-a|×|b|，
整理得2a+ab=b+ab，
解得b=2a．
过点D作x轴垂线，交x轴于H点，在直角三角形ADH中，
由已知易得AD=2

5

，AH=a，DH=b=2a．
AD²=AH²+DH²，即20=a²+4a²，
得a=2．
所以D坐标是（-3，4）
所以|K|=12，由函数图象在第二象限，
所以k=-12．

设点C坐标为（a，

k

a

），根据AC与BD的中点坐标相同，可得出点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式可得出k关于a的表达式，再由BC=2AB=2

5

，可求出a的值，继而得出k的值．

本题考点：反比例函数综合题．

考点点评：本题考查了反比例函数的综合题，涉及了平行四边形的性质、中点的坐标及解方程的知识，解答本题有两个点需要注意：①设出点C坐标，表示出点D坐标，代入反比例函数解析式；②根据BC=2AB=2

5

，得出方程，难度较大，注意仔细运算．