题目
线性代数问题,已知A为2n+1阶正交矩阵且|A|=1,证A必有特征值1
提问时间：2020-12-14
答案
用A'表示A的转置,E表示单位阵.
由A为正交阵,有A'A = E.
于是|E-A| = |A'A-A|
= |(A'-E)A|
= |A'-E|·|A|
= |A'-E| (∵|A| = 1)
= |(A-E)'| (∵E' = E)
= |A-E|
= |-(E-A)|
= (-1)^(2n+1)·|E-A|
= -|E-A|.
因此|E-A| = 0,即1是A的一个特征值.
由A为正交阵,有A'A = E.
于是|E-A| = |A'A-A|
= |(A'-E)A|
= |A'-E|·|A|
= |A'-E| (∵|A| = 1)
= |(A-E)'| (∵E' = E)
= |A-E|
= |-(E-A)|
= (-1)^(2n+1)·|E-A|
= -|E-A|.
因此|E-A| = 0,即1是A的一个特征值.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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