题目

已知抛物线y=-x^2/a+2x,过原点的直线l平分由抛物线与x轴所围成的 面积求l的方程

提问时间：2020-12-14

答案

因为过原点,设直线方程方程为y=kx
由y=-x²/a + 2x= -(1/a)x(x-2a) =-(1/a)(x-a)²+a可知：
抛物线与x轴交于（0,0）、（2a,0）两点,极值为a,关于x=a对称
（1）a>0时,抛物线开口向下,在y轴右侧：
抛物线与x轴围成的面积S=三分之二的底乘以高,用定积分算为：
S=∫ 0->2a（-x²/a + 2x）dx=（-x³/3a+x²)|0->2a=4a²/3 （0->2a标注定积分上下限）
抛物线y=-x²/a + 2x与y=kx的交点除原点外为（a(2-k),ak(2-k)）
抛物线与y=kx围成的面积：∫ 0->a(2-k)（-x²/a + 2x-kx）dx
=[-x³/3a+x²(2-k)/2]|0->a(2-k)=a²(2-k)³/6=S/2=2a²/3,解得k=2-³√4 (³√4表示：三次根号4)
即 y=（2-³√4）x
（2）a