题目

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

提问时间：2020-12-13

答案

（1）∵f（x）=3sin2x+1-2sin2x-1=3sin2x+cos2x-1=2sin（2x+π6）-1∴函数f（x）的最小正周期T=2π2=π…8′（2）∵x∈[-π6，π4]，∴2x+π6∈[-π6，2π3]，于是，当2x+π6=-π6，即x=-π6时，f（x）取得最小值-2...

（1）将f（x）=

3

sin2x+1-2sin²x-1化为（x）=2sin（2x+

π

6

）-1，即可求得其周期；
（2）由x∈[-

π

6

，

π

4

]可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，利用正弦函数的单调性可求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

本题考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法．

考点点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查降幂公式与辅助角公式的应用及正弦函数的函数的单调性质，属于中档题．