题目

圆锥曲线 计算题
已知抛物线 y2=4x 焦点为F 过定点K（－1,0）的直线L与抛物线交于A B两点
点A 关于x轴的对称点为D
（1）证明点F在直线BD上
（2）设向量FA×向量FB=8／9 求△BDK的内切圆方程

提问时间：2020-12-13

答案

设A（x1,y1）,B(x2,y2),D(x1,-y1),l的方程为x=my-1(m≠0).
⑴、证明：将x=my-1带入y²=4x并整理得y²-4my+4=0,从而y1+y2=4m,y1y2=4.
直线BD的方程为y-y2=(y1+y2)(x-x2)／(x2-x1),即y-y2=4／(y2-y1)×(x-y²2／4).
令y=0,x=y1y2／4=1,所以点F(1,0)在直线BD上.
⑵有⑴知,
x1+x2=4m²-2,x1x2=1.∵向量FA=（x1-1,y1）,向量FB=（x2-1,y2）,
二者的积=（x1-1）（x2-1）+y1y2=8-4m²,故8-4m²=8／9,m=±4／3,
所以l的方程为3x+4y+3=0,3x-4y+3=0,
又有⑴知y2-y1=±√（16m²-16）=±4√7／3,故BD斜率=4／（y2-y1）=±3／√7,
因而BD方程为3x+√7y-3=0,3x-√7y-3=0.因而KF为∠BKD的平分线,故可设圆心M（t,0）(－1＜t＜1).M到l及BD的距离分别为3|t+1|／5,3|t-1|／4,二者相等得t=1／9,或t=9(舍).
故圆M的半径r=3|t+1|／5=2／3.所以所求圆的方程为（x-1／9）²+y²=4／9.