题目

在OAB中,向量OC=1/4向量OA,向量OD=1/2OB,AD与BC交于点M,设向量OA=a,向量OB=b,
1.以a,b为基底表示向量OM
2.在线段AC上取一点E,线段BD上取一点F,使EF过点M,设向量OE=λ向量OA,OF=μ向量OB.求证：1/7λ+3/7μ=1

提问时间：2020-12-13

答案

(1)因为A、D、M三点共线,B、D、M三点共线
向量OM=λ向量OD+(1-λ)向量OA=(λ/2)b+(1-λ)a
=μ向量OC+(1-μ)向量OB=(μ/4)a+(1-u)b
因为a、b不共线
所以有λ/2=1-u,1-λ=μ/4
解得λ=6/7,μ=4/7
所以向量OM=(1/7)a+(3/7)b
(2)因为E、F、M三点共线
所以向量OM=t向量OE+(1-t)向量OF=tpa+(1-t)qb=(1/7)a+(3/7)b
因为a、b不共线
所以有tp=1/7,(1-t)q=3/7
代入得1/(7p)+3/(7q)=t+(1-t)=1
1/(7p)+3/(7q)=1得证