题目

已知四面体abcd,ab=cd,ac=bd,ad=bc 证明四个面都是锐角三角形

提问时间：2020-12-13

答案

∵AB=CD,AC=BD,AD=BC
∴ 四个三角形全等
若有一个是直角或钝角三角形,那
么它们都是直角或钝角三角形.
令AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=l
不妨设m≥n≥l,
假设ΔABC和ΔABD是直角三角形
则大边AB所对角 ∠ADB=∠ACB=90º
将面ABC与面ABD展平成一个面,
AC=BD,AD=CB
此时ACBD是矩形,AB=CD,
设AB∩CD=M,将面ABD沿AB
折起,ΔDMC中,DM+CM>CD,
而DM+CM=AB,则AB>CD矛盾.
假设ΔABC和ΔABD是钝角三角形
则大边AB所对角 ∠ADB=∠ACB>90º
同样将面ABC与面ABD展平成一个面,
此时ACBD是形平行四边形,长对角
线AB>CD,已经矛盾.若再折起面ABD
那么CD与AB的差距将会更大.矛盾
所以四个面都是锐角三角形.