题目

已知

a

=（2，1+sinθ），

b

=（1，cosθ），命题p：“存在θ∈R，使

a

⊥

b

”，试证明命题p是假命题．

提问时间：2020-12-12

答案

证明：反证法：假设存在θ∈R，使

a

⊥

b

，则有

a

•

b

=2+cosθ+sinθcosθ=2+cosθ+

1

2

sin2θ=0，
故有cosθ=-2-

1

2

sin2θ．
由于

1

2

sin2θ∈[-

1

2

，

1

2

]，∴cosθ≤-

3

2

，这和余弦函数的值域相矛盾，故假设不正确，
即命题p是假命题．

假设存在θ∈R，使

a

⊥

b

，则有

a

•

b

=0，推出cosθ≤-

3

2

，这和余弦函数的值域相矛盾，可得命题p是假命题．

本题考点：平面向量数量积的运算．

考点点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，余弦函数、正弦函数的定义域和值域，用反证法证明数学命题，属于基础题．